سننظر في هذه المقالة في طرق تحديد المسافة من نقطة إلى نقطة نظريًا وباستخدام مثال المهام المحددة. في البداية، دعونا نقدم بعض التعريفات.

التعريف 1

المسافة بين النقاطهو طول الجزء الذي يربط بينهما، على المقياس الحالي. من الضروري وضع مقياس حتى تكون هناك وحدة طول للقياس. لذلك، يتم حل مشكلة إيجاد المسافة بين النقاط بشكل أساسي باستخدام إحداثياتها على خط إحداثي، أو في مستوى إحداثي، أو في فضاء ثلاثي الأبعاد.

البيانات الأولية: الخط الإحداثي O x ونقطة عشوائية A ملقاة عليه، أي نقطة على الخط لها رقم حقيقي واحد: فليكن رقمًا معينًا للنقطة A س أ,وهو أيضًا إحداثي النقطة أ.

بشكل عام، يمكننا القول أن طول مقطع معين يتم تقييمه بالمقارنة مع مقطع مأخوذ كوحدة طول على مقياس معين.

إذا كانت النقطة A تتوافق مع عدد صحيح صحيح، من خلال الاستغناء بالتتابع من النقطة O إلى النقطة على طول الخط المستقيم O A - وحدات الطول، يمكننا تحديد طول المقطع O A من إجمالي عدد مقاطع الوحدة الموضوعة جانبًا.

على سبيل المثال، النقطة A تتوافق مع الرقم 3 - للوصول إليها من النقطة O، ستحتاج إلى الاستغناء عن ثلاث قطع من الوحدات. إذا كانت النقطة A لها إحداثيات - 4، فسيتم وضع أجزاء الوحدة بطريقة مماثلة، ولكن في اتجاه سلبي مختلف. وبالتالي، في الحالة الأولى، المسافة O A تساوي 3؛ وفي الحالة الثانية O A = 4.

إذا كانت النقطة A تحتوي على رقم منطقي كإحداثي، فمن الأصل (النقطة O) نرسم عددًا صحيحًا من أجزاء الوحدة، ثم الجزء الضروري منها. ولكن من الناحية الهندسية ليس من الممكن دائمًا إجراء القياس. على سبيل المثال، يبدو من الصعب رسم الكسر 4111 على خط الإحداثيات.

باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه، من المستحيل تمامًا رسم رقم غير منطقي على خط مستقيم. على سبيل المثال، عندما تكون إحداثيات النقطة أ هي 11. في هذه الحالة، من الممكن اللجوء إلى التجريد: إذا كان الإحداثي المحدد للنقطة A أكبر من الصفر، فإن O A = x A (يتم أخذ الرقم كمسافة)؛ إذا كان الإحداثي أقل من الصفر، فإن O A = - x A . بشكل عام، هذه العبارات صحيحة لأي عدد حقيقي x A.

لتلخيص: المسافة من الأصل إلى النقطة التي تتوافق مع رقم حقيقي على خط الإحداثيات تساوي:

• 0 إذا كانت النقطة تتزامن مع الأصل؛

• س أ، إذا س أ > 0؛

• - س أ إذا س أ< 0 .

في هذه الحالة، من الواضح أن طول المقطع نفسه لا يمكن أن يكون سالبًا، لذلك باستخدام علامة المعامل نكتب المسافة من النقطة O إلى النقطة A بالإحداثيات س أ: يا أ = س أ

العبارة التالية ستكون صحيحة: المسافة من نقطة إلى أخرى ستكون مساوية لمعامل فرق الإحداثيات.أولئك. للنقطتين A وB الواقعتين على نفس الخط الإحداثي لأي موقع ولهما إحداثيات مقابلة س أو س ب: أ ب = س ب - س أ .

البيانات الأولية: النقطتان A وB تقعان على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل O x y بإحداثيات معينة: A (x A, y A) وB (x B, y B).

دعونا نرسم خطوطًا متعامدة عبر النقطتين A وB على محوري الإحداثيات O x وO y ونحصل نتيجة لذلك على نقاط الإسقاط: A x، A y، B x، B y. بناءً على موقع النقطتين A وB، تكون الخيارات التالية ممكنة:

إذا تطابقت النقطتان A وB، فإن المسافة بينهما تساوي صفرًا؛

إذا كانت النقطتان A وB تقعان على خط مستقيم متعامد مع المحور O x (محور الإحداثي السيني)، فإن النقطتين تتطابقان، و | أ ب | = | ا ي ب ي | . بما أن المسافة بين النقاط تساوي معامل الفرق في إحداثياتها، فإن A y B y = y B - y A، وبالتالي A B = A y B y = y B - y A.

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O y (المحور الإحداثي) - قياسًا على الفقرة السابقة: A B = A x B x = x B - x A

إذا كانت النقطتان A وB لا تقعان على خط مستقيم عمودي على أحد محاور الإحداثيات، فسنجد المسافة بينهما عن طريق اشتقاق الصيغة الحسابية:

نلاحظ أن المثلث ABCC مستطيل الشكل في البناء. في هذه الحالة، A C = A x B x و B C = A y B y. باستخدام نظرية فيثاغورس، ننشئ المساواة: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ، ثم نحولها: A B = A x B x 2 + A y B ص 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

دعونا نستنتج من النتيجة التي تم الحصول عليها: يتم تحديد المسافة من النقطة أ إلى النقطة ب على المستوى عن طريق الحساب باستخدام الصيغة باستخدام إحداثيات هذه النقاط

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

تؤكد الصيغة الناتجة أيضًا العبارات التي تم تشكيلها مسبقًا لحالات تطابق النقاط أو المواقف عندما تقع النقاط على خطوط مستقيمة متعامدة مع المحاور. لذا، إذا تطابقت النقطتان A وB، فإن المساواة التالية ستكون صحيحة: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

في الحالة التي تقع فيها النقطتان A وB على خط مستقيم عمودي على المحور السيني:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = 0 2 + (ص ب - ص أ) 2 = ص ب - ص أ

في الحالة التي تقع فيها النقطتان A وB على خط مستقيم عمودي على المحور الإحداثي:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = (س ب - س أ) 2 + 0 2 = س ب - س أ

البيانات الأولية: نظام إحداثيات مستطيل O x y z مع نقاط عشوائية ملقاة عليه بإحداثيات معينة A (x A، y A، z A) و B (x B، y B، z B). من الضروري تحديد المسافة بين هذه النقاط.

لنفكر في الحالة العامة عندما لا تقع النقطتان A وB في مستوى موازٍ لإحدى مستويات الإحداثيات. دعونا نرسم مستويات متعامدة مع محاور الإحداثيات من خلال النقطتين A و B ونحصل على نقاط الإسقاط المقابلة: A x , A y , A z , B x , B y , B z

المسافة بين النقطتين A و B هي قطري متوازي السطوح الناتج. حسب بناء قياسات هذا المتوازي: A x B x , A y B y و A z B z

نعلم من مقرر الهندسة أن مربع قطر متوازي السطوح يساوي مجموع مربعات أبعاده. وبناءً على هذه العبارة نحصل على المساواة: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

وباستخدام الاستنتاجات التي تم التوصل إليها في وقت سابق، نكتب ما يلي:

أ × ب × = × ب - × أ، أ ذ ب ذ = ص ب - ص أ، أ ض ب ض = ض ب - ض أ

دعونا نحول التعبير:

أ ب 2 = أ × ب × 2 + أ ذ ب ص 2 + أ ض ب ض 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + ض ب - ض أ 2 = = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ذ أ) 2 + ض ب - ض أ 2

أخير صيغة لتحديد المسافة بين النقاط في الفضاءسوف تبدو مثل هذا:

أ ب = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + (ض ب - ض أ) 2

الصيغة الناتجة صالحة أيضًا للحالات التي:

النقاط تتطابق.

تقع على محور إحداثي واحد أو على خط مستقيم موازٍ لأحد محاور الإحداثيات.

أمثلة على حل المسائل المتعلقة بإيجاد المسافة بين النقاط

مثال 1

البيانات الأولية: تم تقديم خط إحداثي ونقاط تقع عليه بإحداثيات معينة A (1 - 2) و B (11 + 2). من الضروري إيجاد المسافة من نقطة الأصل O إلى النقطة A وبين النقطتين A وB.

حل

1. المسافة من النقطة المرجعية إلى النقطة تساوي معامل إحداثيات هذه النقطة على التوالي O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. نحدد المسافة بين النقطتين A وB بأنها مقياس الفرق بين إحداثيات هذه النقاط: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

الإجابة: أ = 2 - 1، أ ب = 10 + 2 2

مثال 2

البيانات الأولية: تم تقديم نظام إحداثي مستطيل ونقطتين عليه A (1، - 1) و B (lect + 1، 3). α هو عدد حقيقي. من الضروري العثور على جميع قيم هذا الرقم حيث تكون المسافة A B مساوية لـ 5.

حل

للعثور على المسافة بين النقطتين A وB، عليك استخدام الصيغة A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

بالتعويض بقيم الإحداثيات الحقيقية نحصل على: A B = (lect + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = lect 2 + 16

نستخدم أيضًا الشرط الموجود وهو أن A B = 5 ومن ثم ستكون المساواة صحيحة:

2 + 16 = 5 2 + 16 = 25 25 = ± 3

الإجابة: أ ب = 5 إذا كانت lect = ± 3.

مثال 3

البيانات الأولية: يتم تحديد مساحة ثلاثية الأبعاد في نظام الإحداثيات المستطيل O x y z والنقاط A (1، 2، 3) و B - 7، - 2، 4 تقع فيه.

حل

لحل المشكلة نستخدم الصيغة A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

بالتعويض بالقيم الحقيقية نحصل على: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

الجواب: | أ ب | = 9

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

دع (الشكل 2.3). مطلوب العثور عليه.

الشكل 2.3. المسافة بين نقطتين.

من المستطيل حسب نظرية فيثاغورس لدينا

إنه ،

هذه الصيغة صالحة لأي موقع من النقاط و.

ثانيا. تقسيم القطعة في هذا الصدد:

يترك ، . مطلوب العثور عليه، ملقاة على الجزء وتقسيمه بنسبة معينة (الشكل 2.4).

الشكل 2.4. تقسيم الجزء في هذا الصدد.

من الشبه ~، أي من أين. على نفس المنوال.

هكذا،

– صيغة لتقسيم قطعة فيما يتعلق .

اذا ثم

- إحداثيات منتصف القطعة.

تعليق.يمكن تعميم الصيغ المشتقة على حالة نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل المكاني. دع النقاط . ثم

- صيغة لإيجاد المسافة بين النقاط و .

صيغة لتقسيم قطعة فيما يتعلق.

بالإضافة إلى الأنظمة الديكارتية، يمكن إنشاء عدد كبير من أنظمة الإحداثيات الأخرى على المستوى وفي الفضاء، أي طرق لتوصيف موضع نقطة ما على المستوى أو في الفضاء باستخدام معلمتين أو ثلاث معلمات رقمية (الإحداثيات). دعونا نفكر في بعض أنظمة الإحداثيات الموجودة.

على متن الطائرة فمن الممكن تحديد نظام الإحداثيات القطبية والذي يستخدم بشكل خاص في دراسة الحركات الدورانية.

الشكل 2.5. نظام الإحداثيات القطبية.

دعونا نثبت نقطة على المستوى ونصف الخط الخارج منه، ونختار أيضًا وحدة مقياس (الشكل 2.5). النقطة تسمى عمود ، نصف السطر - المحور القطبي . دعونا نخصص رقمين لنقطة عشوائية:

– نصف القطر القطبي ، تساوي المسافة من النقطة M إلى القطب O؛

– الزاوية القطبية ، تساوي الزاوية المحصورة بين المحور القطبي ونصف الخط.

يتم قياس الاتجاه الإيجابي للقيم بالراديان من عكس اتجاه عقارب الساعة، وهو ما يُفترض عادةً.

نصف القطر القطبي يتوافق مع القطب، ولم يتم تحديد الزاوية القطبية له.

دعونا نجد العلاقة بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية (الشكل 2.6).

الشكل 2.6. العلاقة بين أنظمة الإحداثيات المستطيلة والقطبية.

سنعتبر أن أصل نظام الإحداثيات المستطيل هو قطب، ونعتبر الشعاع هو المحور القطبي. دعونا - في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة و- في نظام الإحداثيات القطبية. دعونا نجد العلاقة بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.

من المستطيل، ومن المستطيل. وهكذا الصيغ

التعبير عن الإحداثيات المستطيلة لنقطة بدلالة إحداثياتها القطبية.

يتم التعبير عن العلاقة العكسية بواسطة الصيغ

تعليق.يمكن أيضًا تحديد الزاوية القطبية من الصيغة، بعد أن تم تحديدها مسبقًا من الإحداثيات المستطيلة التي تقع فيها النقطة.

مثال 1.العثور على الإحداثيات القطبية لنقطة ما.

حل.نحن نحسب؛ يتم العثور على الزاوية القطبية من الشروط:

لذلك، لذلك.

مثال 2.أوجد الإحداثيات المستطيلة للنقطة.

حل.نحن نحسب

نحن نحصل.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بالإضافة إلى نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، غالبا ما تستخدم أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية.

نظام الإحداثيات الأسطوانيهو نظام إحداثي قطبي في المستوى، يضاف إليه محور مكاني عمودي على هذا المستوى (الشكل 2.7). يتميز موضع أي نقطة بثلاثة أرقام - إحداثياتها الأسطوانية: أين و هي الإحداثيات القطبية (نصف القطر القطبي والزاوية القطبية) لإسقاط النقطة على المستوى الذي يتم فيه اختيار نظام الإحداثيات القطبية - التطبيق، وهي تساوي المسافة من النقطة إلى المستوى المحدد.

الشكل 2.7. نظام الإحداثيات الأسطواني

ولإقامة العلاقة بين نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة والنظام الأسطواني، نضعهما بالنسبة لبعضهما البعض كما في الشكل 2.8 (نضع المستوي في المستوي، ويتطابق المحور القطبي مع الاتجاه الموجب للمحور، المحور شائع في كلا نظامي الإحداثيات).

لتكن الإحداثيات المستطيلة للنقطة، وتكون الإحداثيات الأسطوانية لهذه النقطة، وتكون إسقاط النقطة على المستوى. ثم

الصيغ التي تربط الإحداثيات المستطيلة والاسطوانية لنقطة ما.

الشكل 2.8. العلاقة بين المستطيل الديكارتي

وأنظمة الإحداثيات الأسطوانية

تعليق.غالبًا ما تُستخدم الإحداثيات الأسطوانية عند النظر إلى الأجسام الدورانية، حيث يقع المحور على طول محور الدوران.

نظام الإحداثيات الكرويةيمكن بناؤها على النحو التالي. دعونا نختار المحور القطبي في المستوى. من خلال النقطة نرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المستوى (العادي). إذن يمكن ربط أي نقطة في الفضاء بثلاثة أرقام حقيقية، حيث هي المسافة من النقطة إلى، وهي الزاوية بين المحور ومسقط القطعة على المستوى، وهي الزاوية بين العمودي والقطعة. لاحظ أن ، ، .

إذا وضعنا المستوى في المستوى، واخترنا المحور القطبي ليتزامن مع الاتجاه الموجب للمحور، واخترنا المحور كمحور عادي (الشكل 2.9)، فسنحصل على صيغ تربط هذين النظامين الإحداثيين

الشكل 2.9. العلاقة بين الشكل الديكارتي الكروي والمستطيل

نظم الإحداثيات

كميات العددية،أو العددية تتميز تمامًا بقيمتها العددية في نظام الوحدات المختار. كميات ناقلات أو المتجهات، بالإضافة إلى قيمتها العددية، لها أيضًا اتجاه. على سبيل المثال، إذا قلنا أن الرياح تهب بسرعة 10 م/ث، فسنقدم قيمة قياسية لسرعة الرياح، ولكن إذا قلنا أن الرياح الجنوبية الغربية تهب بسرعة 10 م/ث، ففي هذه الحالة ستكون سرعة الرياح متجهة بالفعل.

المتجهيسمى مقطع موجه له طول معين، أي. مقطع بطول معين، حيث يتم اعتبار إحدى النقاط المحددة كبداية والثانية كنهاية. وسوف نشير إلى المتجه إما أو (الشكل 2.10).

يُشار إلى طول المتجه بالرمز أو ويسمى معامل المتجه. يسمى المتجه الذي طوله 1 أعزب . يسمى المتجه صفر ، إذا كانت بدايته ونهايته متطابقة، ويشار إليه بـ θ أو . المتجه الفارغ ليس له اتجاه محدد وله طول يساوي الصفر. تسمى المتجهات الموجودة على نفس الخط أو على خطوط متوازية على استطراد . يتم استدعاء المتجهين متساوي وإذا كانت على خط مستقيم، يكون لها نفس الطول ونفس الاتجاه. جميع المتجهات الصفرية تعتبر متساوية.

يسمى متجهان خطيان مختلفان عن الصفر ولهما نفس القدر ولكن في اتجاهين متعاكسين عكس . يُشار إلى المتجه المعاكس بـ ، للناقل المعاكس.

الى الرقم العمليات الخطية تشمل المتجهات عمليات الجمع والطرح وضرب المتجه بعدد، أي. العمليات التي تكون نتيجتها متجهة.

دعونا نحدد العمليات المشار إليها على المتجهات. دع ناقلين ويعطى. لنأخذ نقطة عشوائية O وننشئ متجهًا، ونرسم المتجه من النقطة A. ثم يسمى المتجه الذي يربط بداية الحد الأول للمتجه بنهاية الحد الثاني كمية يتم الإشارة إلى هذه المتجهات بواسطة . تسمى القاعدة المدروسة لإيجاد مجموع المتجهات قواعد المثلث (الشكل 2.11).

ويمكن الحصول على نفس مجموع المتجهات بطريقة أخرى (الشكل ٢-١٢). دعونا نرسم المتجه والمتجه من النقطة. دعونا نبني متوازي الأضلاع على هذه المتجهات كما هو الحال على الجوانب. المتجه، وهو قطر متوازي الأضلاع المرسوم من الرأس، سيكون المجموع. تسمى هذه القاعدة للعثور على المبلغ قواعد متوازي الأضلاع .

يمكن الحصول على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة الخط المتقطع (الشكل ٢-١٣). من نقطة عشوائية، نرسم متجهًا، ثم نرسم متجهًا، وما إلى ذلك. المتجه الذي يربط بداية الأول بنهاية الأخير هو المجموع

ناقلات البيانات، أي . من الواضح أنه إذا تزامنت نهاية الحد الأخير للمتجه مع بداية الحد الأول، فإن مجموع المتجهات يساوي المتجه الخالي.

بالفارق ناقلان ويسمى هذا المتجه، الذي مجموعه مع المتجه المطرح يعطي المتجه. من هنا قاعدة لبناء ناقل الفرق(الشكل 2.14). من النقطة نرسم المتجه والمتجه . المتجه الذي يربط طرفي متجه الطرح ومتجه المطروح والموجه من المطروح إلى متجه الطرح هو الفرق.

منتج من ناقلاتبالنسبة للعدد الحقيقي π هو متجه على خط واحد مع المتجه وله طول المتجه ونفس اتجاهه if والاتجاه المعاكس للمتجه if .

دخلت العمليات الخطية أكثر من ناقلات لها ملكيات :

10 . إبدال الإضافة : .

20 . الاقتران بالإضافة: .

ثلاثين . وجود عنصر متعادل بالإضافة : .

4 0 . وجود العنصر المقابل بالإضافة:

50 . توزيع الضرب بعدد بالنسبة لجمع المتجهات: .

6 0 . توزيع ضرب المتجه بمجموع رقمين:

7 0 . خاصية الترابط فيما يتعلق بضرب المتجه في حاصل ضرب الأعداد: .

دعونا نعطي نظام المتجهات:

يسمى التعبير الذي تكون فيه π i (i = 1,2,..., n) بعض الأرقام تركيبة خطية أنظمة المتجهات (2.1). يسمى نظام المتجهات (2.1). تعتمد خطيا ، إذا كانت مجموعتها الخطية تساوي صفرًا، بشرط ألا تكون جميع الأرقام lect 1، lect 2، ...، lect n تساوي صفرًا. يسمى نظام المتجهات (2.1). مستقل خطيا ، إذا كانت مجموعتها الخطية تساوي صفرًا فقط إذا كانت جميع الأرقام lecti = 0 (). يمكننا تقديم تعريف آخر للاعتماد الخطي للمتجهات. يسمى نظام المتجهات (2.1). تعتمد خطيا ، إذا تم التعبير خطيًا عن أي متجه لهذا النظام بدلالة المتجهات الأخرى، وإلا فإن نظام المتجهات (2.1) مستقل خطيا .

بالنسبة للمتجهات الموجودة في المستوى، تكون العبارات التالية صحيحة.

10 . أي ثلاثة نواقل على المستوى تعتمد خطيا.

20 . إذا كان عدد هذه المتجهات على المستوى أكثر من ثلاثة، فهي أيضًا تعتمد خطيًا.

ثلاثين . لكي يكون المتجهان على المستوى مستقلين خطيًا، فمن الضروري والكافي أن يكونا غير على خط واحد.

وبالتالي، فإن الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا على المستوى هو اثنان.

تسمى المتجهات متحد المستوى إذا كانت تقع في نفس المستوى أو كانت موازية لنفس المستوى. العبارات التالية صحيحة بالنسبة للمتجهات الفضائية.

10 . كل أربعة ناقلات للفضاء تعتمد خطيا.

20 . إذا كان عدد هذه المتجهات في الفضاء أكثر من أربعة، فهي أيضًا تعتمد خطيًا.

ثلاثين . لكي تكون المتجهات الثلاثة مستقلة خطيًا، من الضروري والكافي أن تكون غير متحدة المستوى.

وبالتالي، فإن الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا في الفضاء هو ثلاثة.

يُطلق على أي نظام فرعي أقصى من المتجهات المستقلة خطيًا والتي يتم من خلالها التعبير عن أي متجه لهذا النظام أساس واحد قيد النظر أنظمة المتجهات . من السهل أن نستنتج أن الأساس على المستوى يتكون من متجهين غير خطيين، والأساس في الفضاء يتكون من ثلاثة متجهات غير متحدة المستوى. يتم استدعاء عدد المتجهات الأساسية رتبة أنظمة المتجهات. تسمى معاملات تمدد المتجه إلى المتجهات الأساسية إحداثيات المتجهات على هذا الأساس.

دع المتجهات تشكل أساسًا ودعها، فالأرقام lect 1، lect 2، lect 3 هي إحداثيات المتجه في الأساس، في هذه الحالة، اكتب يمكن إثبات أن تحلل المتجه في الأساس فريد . المعنى الرئيسي للأساس هو أن العمليات الخطية على المتجهات تصبح عمليات خطية عادية على الأعداد - إحداثيات هذه المتجهات. باستخدام خصائص العمليات الخطية على المتجهات، يمكننا إثبات النظرية التالية.

نظرية. عند إضافة متجهين، تتم إضافة الإحداثيات المقابلة لهما. عندما يتم ضرب متجه برقم، يتم ضرب جميع إحداثياته ​​بهذا الرقم.

وبالتالي، إذا و، ثم، وأين، وأين، α هو رقم معين.

عادةً، يُشار إلى مجموعة جميع المتجهات في المستوى، المختزلة إلى أصل مشترك، مع العمليات الخطية المُدخلة، بالرمز V 2، ويُشار إلى مجموعة جميع المتجهات في الفضاء، المُختزلة إلى أصل مشترك، بالرمز V 3. يتم استدعاء المجموعتين V 2 و V 3 مساحات المتجهات الهندسية.

الزاوية بين المتجهاتوتسمى الزاوية الصغرى () التي يجب أن يدور بها أحد المتجهات حتى يتطابق مع الثاني بعد وصول هذه المتجهات إلى أصل مشترك.

المنتج نقطةمتجهان هو عدد يساوي ناتج معاملات هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما. المنتج العددي للمتجهات ويشار إليه بـ أو

إذا كانت الزاوية بين المتجهات و تساوي، إذن

من وجهة نظر هندسية، المنتج العددي للمتجهات يساوي منتج معامل أحد المتجهات وإسقاط متجه آخر عليه. ومن المساواة (2.2) يتبع ذلك

من هنا حالة التعامد بين ناقلين: اثنين من المتجهاتو تكون متعامدة إذا وفقط إذا كان منتجها القياسي يساوي الصفر، أي. .

المنتج النقطي للمتجهات ليس عملية خطية لأن نتيجتها هي رقم وليس متجهًا.

خصائص المنتج العددي.

1 درجة. – التبادلية.

2 درجة. - التوزيعية.

3 درجة. - الارتباط فيما يتعلق بالعامل العددي.

4 درجة. - خاصية المربع العددي.

من الخاصية 4° يتبع التعريف طول المتجهات :

دعونا نعطي أساسًا في الفضاء V 3، حيث تكون المتجهات هي متجهات الوحدة (وتسمى متجهات الوحدة)، ويتزامن اتجاه كل منها مع الاتجاه الموجب لمحاور الإحداثيات Ox، Oy، Oz للإحداثيات الديكارتية المستطيلة نظام.

دعونا نقوم بتوسيع المتجه الفضائي V 3 وفقًا لهذا الأساس (الشكل 2.15):

تسمى المتجهات مكونات متجهة على طول محاور الإحداثيات، أو أرقام المكونات أ س، ص، أ ض- الإحداثيات الديكارتية المستطيلة للمتجه أ. يتم تحديد اتجاه المتجه من خلال الزوايا α، β، γ التي يشكلها مع خطوط الإحداثيات. يُسمى جيب تمام هذه الزوايا متجه الاتجاه. ثم يتم تحديد اتجاه جيب التمام بواسطة الصيغ:

ومن السهل إظهار ذلك

دعونا نعبر عن المنتج القياسي في شكل إحداثي.

فليكن. ضرب هذه المتجهات كمتعددات الحدود مع الأخذ في الاعتبار أننا نحصل على تعبير لإيجاده المنتج العددي في شكل الإحداثيات:

أولئك. المنتج العددي لمتجهين يساوي مجموع المنتجات المقترنة للإحداثيات التي تحمل الاسم نفسه.

من (2.6) و (2.4) يتبع صيغة البحث طول المتجهات :

من (2.6) و (2.7) نحصل على صيغة للتحديد الزاوية بين المتجهات:

تسمى ثلاثية المتجهات مرتبة إذا تم الإشارة إلى أي منها يعتبر الأول وأيها يعتبر الثاني وأيها يعتبر الثالث.

أمر ثلاثة ناقلات مُسَمًّى يمين ، إذا، بعد إحضارهم إلى أصل مشترك من نهاية المتجه الثالث، يتم إجراء أقصر دورة من المتجه الأول إلى المتجه الثاني عكس اتجاه عقارب الساعة. وبخلاف ذلك، يتم استدعاء ثلاثية المتجهات غادر . على سبيل المثال، في الشكل 2.15، تشكل المتجهات ، ، الثلاثي الأيمن من المتجهات، والمتجهات ، ، تشكل الثلاثي الأيسر من المتجهات.

وبطريقة مماثلة، تم تقديم مفهوم أنظمة الإحداثيات اليمنى واليسرى في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

ناقلات العمل الفنيالمتجه بواسطة المتجه هو المتجه (تدوين آخر) الذي:

1) له طول، حيث هي الزاوية بين المتجهات و؛

2) عمودي على المتجهات و ()، أي. متعامد مع المستوى الذي تكون فيه المتجهات و ;

حسب التعريف، نجد المنتج المتجه لمتجهات وحدة الإحداثيات، :

إذا ، ، ​​فإن إحداثيات منتج المتجه لمتجه ومتجه يتم تحديدها بالصيغة:

من التعريف يتبع المعنى الهندسي للفن المتجه : حجم المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و .

خصائص المنتج المتجه:

4 0 . ، إذا كانت المتجهات و على خط واحد، أو كان أحد هذه المتجهات صفرًا.

مثال 3.متوازي الأضلاع مبني على المتجهات و حيث , . احسب طول أقطار متوازي الأضلاع هذا، والزاوية بين الأقطار ومساحة متوازي الأضلاع.

حل.بناء المتجهات ويظهر في الشكل 2.16، كما يظهر في الشكل 2.17 بناء متوازي الأضلاع على هذه المتجهات.

دعونا نجري حلاً تحليليًا لهذه المشكلة. دعونا نعبر عن المتجهات التي تحدد أقطار متوازي الأضلاع المبني من خلال المتجهات و، ثم من خلال و. نجد ، . بعد ذلك، نوجد أطوال أقطار متوازي الأضلاع كأطوال المتجهات المبنية

يُشار إلى الزاوية بين قطري متوازي الأضلاع بـ . ثم من صيغة المنتج العددي للمتجهات لدينا:

لذلك، .

باستخدام خصائص المنتج المتجه، نحسب مساحة متوازي الأضلاع:

دعونا نعطي ثلاثة ناقلات و . لنتخيل أن المتجه يتم ضربه بشكل متجهي ويتم ضرب المتجه والمتجه الناتج بشكل عددي في المتجه، وبالتالي تحديد العدد. ويسمى ناقلات العددية أو عمل مختلط ثلاثة ناقلات و . يُشار إليه بـ أو.

هيا نكتشف المعنى الهندسي للمنتج المختلط (الشكل 2.18). اسمحوا ، لا يكون متحد المستوى. دعونا نبني متوازي السطوح على هذه المتجهات كما هو الحال على الحواف. المنتج المتقاطع هو متجه معامله يساوي مساحة متوازي الأضلاع (قاعدة متوازي الأضلاع) ، مبني على المتجهات ويتم توجيهه بشكل عمودي على مستوى متوازي الأضلاع.

المنتج النقطي (يساوي منتج معامل المتجه والإسقاط على ). ارتفاع متوازي السطوح المبني هو القيمة المطلقة لهذا الإسقاط. وبالتالي، فإن القيمة المطلقة للمنتج المختلط لثلاثة ناقلات تساوي حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات و، أي. .

من هنا يتم حساب حجم الهرم الثلاثي المبني على المتجهات ويتم حسابه بالصيغة.

دعونا نلاحظ بعض أكثر خصائص المنتج المختلط ثلاثة أبعاد.

1 س. تكون علامة المنتج موجبة إذا كانت المتجهات و و تشكل نظامًا يحمل نفس اسم النظام الرئيسي وسالبة بخلاف ذلك.

حقًايكون حاصل الضرب العددي موجبًا إذا كانت الزاوية المحصورة بينهما ويكون حادًا وسالبًا إذا كانت الزاوية منفرجة. مع وجود زاوية حادة بين و، فإن المتجهات و تقع على جانب واحد بالنسبة لقاعدة متوازي السطوح، وبالتالي، من نهاية المتجه، سيكون الدوران من إلى مرئيًا بنفس الطريقة من نهاية المتجه ، أي. في اتجاه إيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة).

عند زاوية منفرجة، يقع كل من المتجهات و على جوانب مختلفة بالنسبة لمستوى متوازي الأضلاع الموجود عند قاعدة متوازي الأضلاع، وبالتالي، من نهاية المتجه، يكون الدوران من إلى مرئيًا في الاتجاه السلبي ( في اتجاه عقارب الساعة).

2 o المنتج المخلوط لا يتغير عند إعادة ترتيب عوامله بشكل دائري : .

3 o عند إعادة ترتيب أي متجهين، يتغير الناتج المختلط فقط الإشارة. على سبيل المثال، ، . ، . - أنظمة غير معروفة.

نظام(3.1) يسمى متجانس , إذا كان جميع الأعضاء أحرارا . نظام (3.1) يسمى غير متجانسة إذا كان واحدا على الأقل من الأعضاء الأحرار.

حل النظامتسمى مجموعة من الأرقام، عند استبدالها في معادلات النظام بدلاً من المجهول المقابل لها، تتحول كل معادلة من معادلة النظام إلى هوية. يسمى النظام الذي ليس له حل غير متوافق، أو جدلي . يسمى النظام الذي يحتوي على حل واحد على الأقل مشترك .

يسمى النظام المشترك تأكيد ، إذا كان لديه حل فريد. إذا كان النظام المتسق يحتوي على أكثر من حل واحد، فسيتم استدعاؤه غير مؤكد . النظام المتجانس دائمًا ما يكون ثابتًا، حيث أن حله صفر على الأقل. يسمى التعبير عن المجهول الذي يمكن من خلاله الحصول على أي حل محدد للنظام القرار العام ، وأي حل محدد للنظام هو حل خاص . نظامان لهما نفس المجهول مقابل (مقابل ) إذا كان كل حل لأحدهما هو حل للآخر أو كان كلا النظامين غير متناسقين.

دعونا نفكر في طرق حل أنظمة المعادلات الخطية.

إحدى الطرق الرئيسية لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة غاوس، أو طريقة تسلسلية استبعاد المجهولين. جوهر هذه الطريقة هو تحويل نظام المعادلات الخطية إلى شكل تدريجي. وفي هذه الحالة يجب تنفيذ المعادلات التالية: التحولات الأولية :

1. إعادة ترتيب معادلات النظام.

2. إضافة معادلة أخرى إلى معادلة واحدة.

3. ضرب طرفي المعادلة برقم غير الصفر.

ونتيجة لذلك، سوف يتخذ النظام الشكل:

بمواصلة هذه العملية، نحذف المجهول من جميع المعادلات، بدءًا من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الثانية بالأرقام وأضفها إلى المعادلة الثالثة، ...، إلى -النظام. يتم تنفيذ الخطوات التالية لطريقة غاوس بالمثل. إذا حصلنا نتيجة للتحويلات على معادلة مماثلة، فإننا نحذفها من النظام. إذا تم الحصول في إحدى خطوات الطريقة الغوسية على معادلة النموذج:

فإن النظام قيد النظر غير متسق ويتوقف حله الإضافي. إذا لم يتم العثور على معادلة من الشكل (3.2) عند إجراء التحويلات الأولية، فإنه في ما لا يزيد عن - خطوات سيتم تحويل النظام (3.1) إلى شكل تدريجي:

للحصول على حل معين للنظام سيكون من الضروري تعيين قيم محددة للمتغيرات الحرة في (3.4).

لاحظ أنه بما أن جميع التحويلات في طريقة غاوس يتم إجراؤها على معاملات المعادلات غير المعروفة والمصطلحات الحرة، فمن الناحية العملية يتم تطبيق هذه الطريقة عادةً على مصفوفة مكونة من معاملات المجهولة وعمود من المصطلحات الحرة. هذه المصفوفة تسمى الموسعة. باستخدام التحويلات الأولية، يتم تقليل هذه المصفوفة إلى شكل تدريجي. ثم، باستخدام المصفوفة الناتجة، يتم إعادة بناء النظام وتطبيق جميع الاستدلالات السابقة عليه.

مثال 1.حل النظام:

حل.نقوم بإنشاء مصفوفة موسعة وتحويلها إلى شكل تدريجي:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - تم ضرب السطر الثاني وشطب السطر الثالث.

غالبًا ما يصاحب حل المشكلات في الرياضيات العديد من الصعوبات للطلاب. إن مساعدة الطالب على التغلب على هذه الصعوبات، وكذلك تعليمه كيفية تطبيق معرفته النظرية الموجودة عند حل مشاكل محددة في جميع أقسام الدورة في موضوع "الرياضيات" هو الهدف الرئيسي لموقعنا.

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالموضوع، يجب أن يكون الطلاب قادرين على إنشاء نقطة على المستوى باستخدام إحداثياتها، وكذلك العثور على إحداثيات نقطة معينة.

يتم حساب المسافة بين نقطتين A(x A; y A) و B(x B; y B) على المستوى باستخدام الصيغة د = √((س أ – س ب) 2 + (ص أ – ص ب) 2)، حيث d هو طول القطعة التي تربط هذه النقاط على المستوى.

إذا كان أحد طرفي المقطع يتزامن مع أصل الإحداثيات، والآخر له إحداثيات M(x M; y M)، فإن صيغة حساب d ستأخذ الشكل OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. حساب المسافة بين نقطتين بناء على الإحداثيات المعطاة لهذه النقاط

مثال 1.

أوجد طول القطعة التي تربط النقطتين A(2; -5) وB(-4; 3) على المستوى الإحداثي (الشكل 1).

حل.

ينص بيان المشكلة على: x A = 2; س ب = -4؛ y A = -5 و y B = 3. أوجد d.

بتطبيق الصيغة d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) نحصل على:

د = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. حساب إحداثيات نقطة متساوية البعد عن ثلاث نقاط معينة

مثال 2.

أوجد إحداثيات النقطة O 1، التي تقع على مسافة متساوية من ثلاث نقاط A(7; -1) وB(-2; 2) وC(-1; -5).

حل.

من صياغة شروط المشكلة يترتب على ذلك أن O 1 A = O 1 B = O 1 C. دع النقطة المطلوبة O 1 لها إحداثيات (أ؛ ب). باستخدام الصيغة d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) نجد:

O 1 أ = √((أ – 7) 2 + (ب + 1) 2);

يا 1 ب = √((أ + 2) 2 + (ب – 2) 2);

O 1 ج = √((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

لنقم بإنشاء نظام من معادلتين:

(√((أ – 7) 2 + (ب + 1) 2) = √((أ + 2) 2 + (ب – 2) 2)،
(√((أ – 7) 2 + (ب + 1) 2) = √((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

بعد تربيع طرفي المعادلات الأيمن والأيسر نكتب:

((أ – 7) 2 + (ب + 1) 2 = (أ + 2) 2 + (ب – 2) 2،
((أ – 7) 2 + (ب + 1) 2 = (أ + 1) 2 + (ب + 5) 2.

تبسيط، دعونا نكتب

(-3أ + ب + 7 = 0،
(-2أ – ب + 3 = 0.

وبعد حل النظام نحصل على: a = 2؛ ب = -1.

النقطة O 1 (2; -1) تكون على مسافة متساوية من النقاط الثلاث المحددة في الحالة التي لا تقع على نفس الخط المستقيم. هذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر بثلاث نقاط معينة (الصورة 2).

3. حساب الإحداثي (الإحداثي) لنقطة تقع على محور الإحداثي (الإحداثي) وتقع على مسافة معينة من نقطة معينة

مثال 3.

المسافة من النقطة B(-5; 6) إلى النقطة A الواقعة على محور الثور هي 10. أوجد النقطة A.

حل.

من صياغة شروط المشكلة، يترتب على ذلك أن إحداثي النقطة A يساوي الصفر و AB = 10.

للدلالة على حدود النقطة A بـ a، نكتب A(a; 0).

أ ب = √ ((أ + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √ ((أ + 5) 2 + 36).

حصلنا على المعادلة √((أ + 5) 2 + 36) = 10. بتبسيطها، لدينا

أ 2 + 10 أ - 39 = 0.

جذور هذه المعادلة هي 1 = -13؛ و2 = 3.

نحصل على نقطتين A 1 (-13; 0) و A 2 (3; 0).

فحص:

أ 1 ب = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

أ 2 ب = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

كلا النقطتين اللتين تم الحصول عليهما مناسبتان وفقا لظروف المشكلة (تين. 3).

4. حساب الإحداثي (الإحداثي) لنقطة تقع على محور الإحداثي (الإحداثي) وتقع على نفس المسافة من نقطتين محددتين

مثال 4.

ابحث عن نقطة على محور Oy تقع على نفس المسافة من النقطتين A (6، 12) وB (-8، 10).

حل.

دع إحداثيات النقطة التي تتطلبها شروط المشكلة، الواقعة على محور Oy، تكون O 1 (0؛ b) (عند النقطة الواقعة على محور Oy، يكون الإحداثي الإحداثي صفرًا). ويترتب على الشرط أن O 1 A = O 1 B.

باستخدام الصيغة d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) نجد:

O 1 أ = √((0 – 6) 2 + (ب – 12) 2) = √(36 + (ب – 12) 2);

O 1 ب = √((أ + 8) 2 + (ب – 10) 2) = √(64 + (ب – 10) 2).

لدينا المعادلة √(36 + (ب – 12) 2) = √(64 + (ب – 10) 2) أو 36 + (ب – 12) 2 = 64 + (ب – 10) 2.

وبعد التبسيط نحصل على: ب – 4 = 0، ب = 4.

النقطة O 1 (0; 4) التي تتطلبها ظروف المشكلة (الشكل 4).

5. حساب إحداثيات نقطة تقع على نفس المسافة من محاور الإحداثيات وبعض النقاط المحددة

مثال 5.

ابحث عن النقطة M الواقعة على المستوى الإحداثي على نفس المسافة من محاور الإحداثيات ومن النقطة A(-2; 1).

حل.

النقطة المطلوبة M، مثل النقطة A(-2; 1)، تقع في الزاوية الإحداثية الثانية، لأنها متساوية البعد عن النقاط A وP 1 وP 2 (الشكل 5). مسافات النقطة M عن محاور الإحداثيات هي نفسها، وبالتالي فإن إحداثياتها ستكون (-a; a)، حيث a > 0.

ويترتب على شروط المشكلة أن MA = MR 1 = MR 2، MR 1 = a؛ النائب 2 = |-أ|،

أولئك. |-أ| = أ.

باستخدام الصيغة d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) نجد:

MA = √((-أ + 2) 2 + (أ – 1) 2).

دعونا نجعل المعادلة:

√((-أ + 2) 2 + (أ – 1) 2) = أ.

بعد التربيع والتبسيط لدينا: أ 2 – 6أ + 5 = 0. حل المعادلة، أوجد أ 1 = 1؛ و2 = 5.

نحصل على نقطتين M 1 (-1; 1) و M 2 (-5; 5) التي تحقق شروط المشكلة.

6. حساب إحداثيات نقطة تقع على نفس المسافة المحددة من محور الإحداثيات ومن النقطة المحددة

مثال 6.

أوجد نقطة M بحيث تكون المسافة من المحور الإحداثي ومن النقطة A(8;6) تساوي 5.

حل.

يترتب على شروط المشكلة أن MA = 5 وإحداثي النقطة M يساوي 5. دع إحداثي النقطة M يساوي b، ثم M(5; b) (الشكل 6).

وفقًا للصيغة d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) لدينا:

MA = √((5 – 8) 2 + (ب – 6) 2).

دعونا نجعل المعادلة:

√((5 – 8) 2 + (ب – 6) 2) = 5. بتبسيطها نحصل على: b 2 – 12b + 20 = 0. جذور هذه المعادلة هي b 1 = 2؛ ب 2 = 10. وبالتالي هناك نقطتان تحققان شروط المشكلة: م 1 (5؛ 2) و م 2 (5؛ 10).

من المعروف أن العديد من الطلاب عند حل المشكلات بشكل مستقل يحتاجون إلى مشاورات مستمرة حول تقنيات وطرق حلها. في كثير من الأحيان، لا يستطيع الطالب إيجاد طريقة لحل مشكلة ما دون مساعدة المعلم. يمكن للطالب الحصول على النصائح اللازمة لحل المشكلات على موقعنا.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية العثور على المسافة بين نقطتين على متن الطائرة؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

دعونا نعطي نظام إحداثيات مستطيل.

نظرية 1.1.لأي نقطتين M 1 (x 1;y 1) وM 2 (x 2;y 2) من المستوى، يتم التعبير عن المسافة d بينهما بالصيغة

دليل.دعونا نسقط العمودين M 1 B و M 2 A من النقطتين M 1 و M 2 على التوالي

على محور Oy و Ox وترمز بواسطة K إلى نقطة تقاطع الخطين M 1 B و M 2 A (الشكل 1.4). الحالات التالية ممكنة:

1) النقاط M 1 و M 2 و K مختلفة. من الواضح أن النقطة K لها إحداثيات (x 2;y 1). ومن السهل أن نرى أن M 1 K = ôx 2 – x 1 ô، M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. لأن ∆M 1 KM 2 مستطيل إذن حسب نظرية فيثاغورس d = M 1 M 2 = = .

2) النقطة K تتزامن مع النقطة M 2، ولكنها تختلف عن النقطة M 1 (الشكل 1.5). في هذه الحالة ص 2 = ص 1

و د = م 1 م 2 = م 1 ك = ôx 2 – x 1 ô= =

3) النقطة K تتطابق مع النقطة M 1، ولكنها تختلف عن النقطة M 2. في هذه الحالة × 2 = × 1 و د =

م 1 م 2 = كم 2 = ôу 2 - ص 1 ô= = .

4) النقطة M 2 تتطابق مع النقطة M 1. ثم س 1 = س 2، ص 1 = ص 2 و

د = م 1 م 2 = س = .

تقسيم الجزء في هذا الصدد.

دع قطعة تعسفية M 1 M 2 تعطى على المستوى ودع M ─ أي نقطة من هذا

مقطع مختلف عن النقطة M 2 (الشكل 1.6). الرقم ل، الذي يحدده المساواة ل = ، مُسَمًّى سلوك،عند هذه النقطة M يقسم الجزء M 1 M 2.

نظرية 1.2.إذا قسمت نقطة M(x;y) القطعة M 1 M 2 بالنسبة إلى l، فسيتم تحديد إحداثيات هذه النقطة بواسطة الصيغ

س = ، ص = , (4)

حيث (x 1;y 1) ─ إحداثيات النقطة M 1، (x 2;y 2) ─ إحداثيات النقطة M 2.

دليل.دعونا نثبت أول الصيغ (4). تم إثبات الصيغة الثانية بطريقة مماثلة. هناك نوعان من الحالات الممكنة.

س = س 1 = = = .

2) الخط المستقيم M 1 M 2 ليس متعامداً مع محور الثور (الشكل 1.6). دعونا نخفض الخطوط المتعامدة من النقاط M 1، M، M 2 إلى محور الثور ونحدد نقاط تقاطعها مع محور الثور كـ P 1، P، P 2، على التوالي. بواسطة نظرية القطاعات المتناسبة = ل.

لأن P 1 P = ôx – x 1 ô، PP 2 = ôx 2 – xô والأرقام (x – x 1) و (x 2 – x) لها نفس الإشارة (عند x 1)< х 2 они положительны, а при х 1 >× 2 سالبة)، إذن

ل = = ,

س – س 1 = ل(س 2 – س)، س + ل س = س 1 + ل س 2،

س = .

النتيجة الطبيعية 1.2.1.إذا كانت M 1 (x 1;y 1) وM 2 (x 2;y 2) نقطتين عشوائيتين والنقطة M(x;y) هي منتصف القطعة M 1 M 2، إذن

س = ، ص = (5)

دليل.بما أن M 1 M = M 2 M، إذن l = 1 وباستخدام الصيغ (4) نحصل على الصيغ (5).

مساحة المثلث .

نظرية 1.3.بالنسبة لأي نقاط A(x 1;y 1) وB(x 2;y 2) وC(x 3;y 3) التي لا تقع على نفس النقطة

على خط مستقيم، يتم التعبير عن المساحة S للمثلث ABC بالصيغة

S = ô(س 2 – س 1)(ص 3 – ص 1) – (س 3 – س 1)(ص 2 – ص 1)ô (6)

دليل.المساحة ∆ ABC الموضحة في الشكل. 1.7، نحسب على النحو التالي

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

نحسب مساحة شبه المنحرف:

S ADEC =
,

S BCEF =

SABFD =

الآن لدينا

S ABC = ((س 3 - س 1)(ص 3 + ص 1) + (س 3 - س 2)(ص 3 + ص 2) - (س 2 - -س 1) (ص 1 + ص 2)) = (س 3 ص 3 – س 1 ص 3 + س 3 ص 1 – س 1 ص 1 + + س 2 ص 3 – -س 3 ص 3 + س 2 ص 2 – س 3 ص 2 – س 2 ص 1 + س 1 ص 1 – س 2 ص 2 + س 1 ص 2) = (س 3 ص 1 – س 3 ص 2 + س 1 ذ 2 – س 2 ص 1 + س 2 ص 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (ص 2 - ص 1) - س 3 (ص 2 - ص 1) + + ص 1 (س 1 - س 2) - ص 3 (س 1 - س 2)) = ((س 1 - س 3)( ص 2 – ص 1) + (س 1 – س 2)(ص 1 – ص 3)) = ((س 2 – س 1)(ص 3 – ص 1) –

- (س 3 - س 1) (ص 2 - ص 1)).

بالنسبة لموقع آخر ∆ ABC، يتم إثبات الصيغة (6) بطريقة مماثلة، ولكن قد تظهر بعلامة "-". لذلك، في الصيغة (6) وضعوا علامة المعامل.

محاضرة 2.

معادلة خط مستقيم على المستوى: معادلة خط مستقيم بمعامل رئيسي، معادلة عامة لخط مستقيم، معادلة خط مستقيم مقطع، معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين. الزاوية بين الخطوط المستقيمة، وشروط التوازي والتعامد للخطوط المستقيمة على المستوى.

2.1. دع نظام الإحداثيات المستطيل وبعض الخطوط L معطى على المستوى.

التعريف 2.1.تسمى معادلة من الشكل F(x;y) = 0، تربط بين المتغيرين x وy المعادلة الخطية L(في نظام إحداثي معين)، إذا كانت هذه المعادلة تتحقق بإحداثيات أي نقطة تقع على الخط L، وليس بإحداثيات أي نقطة لا تقع على هذا الخط.

أمثلة على معادلات الخطوط على المستوى.

1) اعتبر خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور Oy لنظام الإحداثيات المستطيل (الشكل 2.1). دعونا نشير بالحرف A إلى نقطة تقاطع هذا الخط مع محور الثور، (a;o) ─ أو-

دينات. المعادلة x = a هي معادلة الخط المعطى. في الواقع، تتحقق هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة M(a;y) من هذا الخط ولا تتحقق بإحداثيات أي نقطة لا تقع على الخط. إذا كانت a = 0، فإن الخط المستقيم يتطابق مع محور Oy، الذي له المعادلة x = 0.

2) تحدد المعادلة x - y = 0 مجموعة نقاط المستوى التي تشكل منصفات زاويتي الإحداثيات I و III.

3) المعادلة x 2 - y 2 = 0 ─ هي معادلة منصفين للزوايا الإحداثية.

4) المعادلة x 2 + y 2 = 0 تحدد نقطة واحدة O(0;0) على المستوى.

5) المعادلة x 2 + y 2 = 25 ─ معادلة دائرة نصف قطرها 5 ومركزها عند نقطة الأصل.

باستخدام الإحداثيات، يتم تحديد موقع الجسم على الكرة الأرضية. تتم الإشارة إلى الإحداثيات بواسطة خطوط الطول والعرض. يتم قياس خطوط العرض من خط الاستواء على كلا الجانبين. تكون خطوط العرض في نصف الكرة الشمالي إيجابية، وفي نصف الكرة الجنوبي تكون سلبية. يتم قياس خط الطول من خط الطول الرئيسي إما شرقًا أو غربًا، على التوالي، ويتم الحصول على خط الطول الشرقي أو الغربي.

وفقًا للموقف المقبول عمومًا، فإن خط الطول الرئيسي هو الذي يمر عبر مرصد غرينتش القديم في غرينتش. يمكن الحصول على الإحداثيات الجغرافية للموقع باستخدام ملاح GPS. يستقبل هذا الجهاز إشارات نظام تحديد المواقع عبر الأقمار الصناعية بنظام الإحداثيات WGS-84 الموحد للعالم أجمع.

تختلف نماذج Navigator في الشركة المصنعة والوظيفة والواجهة. حاليًا، تتوفر أيضًا أجهزة الملاحة GPS المدمجة في بعض طرازات الهواتف المحمولة. ولكن يمكن لأي نموذج تسجيل وحفظ إحداثيات نقطة ما.

المسافة بين إحداثيات GPS

لحل المشاكل العملية والنظرية في بعض الصناعات، من الضروري أن تكون قادرا على تحديد المسافات بين النقاط عن طريق إحداثياتها. هناك العديد من الطرق التي يمكنك القيام بذلك. الشكل القانوني لتمثيل الإحداثيات الجغرافية: الدرجات والدقائق والثواني.

على سبيل المثال، يمكنك تحديد المسافة بين الإحداثيات التالية: النقطة رقم 1 - خط العرض 55°45′07″ شمالاً، خط الطول 37°36′56″ شرقاً؛ النقطة رقم 2 - خط العرض 58°00′02″ شمالاً، خط الطول 102°39′42″ شرقًا.

أسهل طريقة هي استخدام الآلة الحاسبة لحساب الطول بين نقطتين. في محرك بحث المتصفح، يجب عليك تعيين معلمات البحث التالية: عبر الإنترنت - لحساب المسافة بين إحداثيتين. في الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، يتم إدخال قيم خطوط الطول والعرض في حقول الاستعلام للإحداثيات الأولى والثانية. عند الحساب، أعطت الآلة الحاسبة عبر الإنترنت النتيجة - 3800619 م.

الطريقة التالية هي أكثر كثافة في العمل، ولكنها أيضًا أكثر بصرية. يجب عليك استخدام أي برنامج خرائط أو تنقل متاح. تتضمن البرامج التي يمكنك من خلالها إنشاء نقاط باستخدام الإحداثيات وقياس المسافات بينها التطبيقات التالية: BaseCamp (نظير حديث لبرنامج MapSource)، وGoogle Earth، وSAS.Planet.

جميع البرامج المذكورة أعلاه متاحة لأي مستخدم للشبكة. على سبيل المثال، لحساب المسافة بين إحداثيتين في برنامج Google Earth، تحتاج إلى إنشاء علامتين تشيران إلى إحداثيات النقطة الأولى والنقطة الثانية. بعد ذلك، باستخدام أداة "Ruler"، تحتاج إلى توصيل العلامتين الأولى والثانية بخط، وسيقوم البرنامج تلقائيًا بعرض نتيجة القياس وإظهار المسار على صورة القمر الصناعي للأرض.

في حالة المثال المذكور أعلاه، أعاد برنامج Google Earth النتيجة - طول المسافة بين النقطة رقم 1 والنقطة رقم 2 هو 3,817,353 م.

لماذا يوجد خطأ عند تحديد المسافة

تعتمد جميع حسابات المدى بين الإحداثيات على حساب طول القوس. يشارك نصف قطر الأرض في حساب طول القوس. ولكن بما أن شكل الأرض قريب من الشكل الإهليلجي المفلطح، فإن نصف قطر الأرض يختلف عند نقاط معينة. ولحساب المسافة بين الإحداثيات، يتم أخذ القيمة المتوسطة لنصف قطر الأرض، مما يعطي خطأ في القياس. كلما زادت المسافة التي يتم قياسها، كلما زاد الخطأ.